روش درونیابی IDW یا معکوس فاصله

   روش درونیابی IDW یا همان Inverse distance weighting یکی از روش های معمول و پرکاربرد درونیابی است. همانطور که همه شما میدانید، هدف اصلی ما در درونیابی مشخص نمودن میزان یک پارامتر (مثلاً ارتفاع) در مناطقی است که در آنها نمونه برداری انجام نشده است. این کار نیز با توجه به نقاط همسایه و با میانگین گیری از نقاط نمونه که در همسایگی هر نقطه مجهول قرار دارند انجام میدهیم. درحقیقت یکی از راههای ایجاد مدل ارتفاع رقومی زمین (DEM) و درنتیجه تولید نقشه شیب، استفاده از درونیابی IDW و تشکیل DEM منطقه با استفاده از نقاط ارتفاعی است.

اما باچه روشی بین نقاط همسایه میانگین گیری میکنیم ؟

   معمولاً از این نقاط یک میانگین وزن دار میگیریم و نتیجه را برای نقطه مجهول ثبت میکنیم. در اینجا وزنی که هر نقطه معلوم با آن در میانگین مشارکت میکند اهمیت پیدا میکند. در روش درونیابی IDW فرض ما براین است که تاثیر هر پدیده متناسب با توانی از معکوس فاصله آن است، بنابراین تاثیر پدیده ی مورد نظر با افزایش فاصله، کاهش می یابد.
بنابراین بر اساس این روش، ارتباط پدیده ی پیوسته در نقاط اندازگیری نشده، با افزایش فاصله کاهش می یابد. به عنوان مثال، ما سه نقطه ی ارتفاعی داریم که مختصاتشان را می دانیم. با توجه به این روش درون یابی میتوانیم به این نتیجه برسیم که نقطه ی مجهولی که مختصاتش را نمیدانیم، بیشترین شباهت را به نزدیکترین نقطه ی ارتفاعی دارد. بنابراین برای تخمین نقاط مجهول، نمونه های اطراف باید مشارکت بیشتری نسبت به آنها که دورترند، داشته باشند.

در این مدل از فاصله به عنوان وزن متغیر معلوم در پیش بینی نقاط اندازگیری نشده، استفاده می شود.

تاثیر شدت وابستگی مکانی در داده ها را با استفاده از توان در معکوس فاصله می توان اعمال نمود.توان دوم معکوس از این مدل به طور مکرر توسط پژوهشگران استفاده شده است.

نحوه برآورد در درونیابی IDW

   فرض کنید میخواهیم برای یک منطقه که در آن میزان یک پدیده را در نقاط معلومی میدانیم، درونیابی کرده و برای تمامی نقاط منطقه میزان پدیده را معین نماییم. روش کا بدین ترتیب است :

1. محدوده ی مورد نظر تبدیل به ماتریسی با سلولهای هم اندازه می شود. مختصات مکانی ماتریس و اندازه هر پیکسل آن روشن بوده و دارای واحد اندازگیری است.
2. در این شبکه سلول ها به دو صورت اند:

– سلولها با مقدار متغیر معلوم(اندازگیری شده)
– سلولها با مقدار نامعلوم(اندازگیری نشده)

برای برآورد ارزش سلولهایی که ارزش نامعلوم دارند، با استفاده از سلولهای اطراف در یک شعاع مشخص، مطابق شکل زیر، عددی محاسبه میگردد.

توان :

   افزایش یا کاهش وابستگی سلولهای مجهول به سلولهای معلوم بر اساس توان معکوس فاصله تنظیم می شود. بهترین توان، مقداری است که بهترین برآورد را از سلول های مجهول داشته باشد. به عبارت دیگر دارای حداقل خطای پیش بینی باشد و این مقدار با مقایسه اندازه های واقعی با اندازه های پیش بینی شده در توانهای مختلف بدست می آید.

محسابه توان: محاسبه ی توان با محاسبه ی حداقل میزان RMSPE به معنی مرجع حداقل خطای پیش بینی،انجام می گیرد.

شکل زیر برآورد توان مناسب را نشان می دهد.

نقاط روی منحنی مقدار مربع خطای پیش بینی شده با توانهای متفاوت است و حداقل RMSPE بهترین توان برای مدل IDW  می باشد.

توان مناسب ارتباط نزدیکی با نقش فاصله در برآورد نقاط مجهول دارد یا به بیانی دیگر، افزایش توان تاثیر فاصله را در درون یابی بیشتر می کند. بدین معنا که شباهت نقاط مجهول به همسایه های معلوم نزدیکتر،با افزایش توان در مدل بیشتر می شود.شکل زیر این ارتباط را نشان می دهد.
هنگامی که توان صفر است، نقش فاصله یکسان میشود و مقدار نامعلوم از میانگین نقاط همسایه بدست می آید و اگر توان افزایش یابد، تاثیر فاصله افزایش می یاید و فاصله های نزدیکتر، وزن های بالاتری می یابند.

در مدل  IDW معمولاً از توانهای بالاتر از یک، یعنی 2 استفاده می شود، به همین علت به آن مربع فاصله معکوس نیز می گویند.

تعریف همسایگی در مدل IDW

همسایگی در این روش به دو صورت تعریف می شود:

1- روش شعاع جستجو: در این روش، دایره ای در نظر گرفته می شود و نقطه ی نامعلوم در مرکز آن قرار دارد. نقطه ای که در مرکز دایره قرار دارد، ارزش آن مجهول است. برای محاسبه ی میزان آن، نقاط داخل دایره مورد استفاده قرار می گیرند. به عبارت دیگر، فاصله ی هریک از 5 نقطه ای که در داخل دایره قرار دارد، اندازه گیری می شود. سپس معکوس آن فواصل به توان محاسبه شده می رسند و میانگین آن برای نقطه ی مجهول در نظر گرفته می شود. مقدار توان در واقع وزنی است که به فواصل داده می شود.
تعیین اندازه ی شعاع جستجو بستگی به فاصله ی نقاط از یکدیگر و نحوه ی تغییرات پدیده ی پیوسته دارد.

2- روش تعداد همسایه: اگر نحوه ی تغییرات پدیده نامنظم باشد از روش تعداد همسایه استفاده میشود. محاسبه در این روش همانند روش شعاع جستجو است با این تفاوت که، تعداد همسایه ها معیار انتخاب نقاط معلوم برای درونیابی است.